Un resumen de la geometría de los polígonos.

Un polígono es una figura plana limitada por segmentos de recta, que se llaman los lados, un punto commun a las extremidades de dos lados es un vértice. Aquí tenemos algunos ejemplos :

Observamos muchas diferencias entre estos polígonos. Primeramente el numero de vertices, enseguida el numero de lados y en tercer lugar la forma. Para precisar un poco vamos a entrar en el detalle:

El numero de lados es muy importante :

· Polígono con tres lados o triangulo,

· Polígono con cuatro lados o cuadrilátero,

· Polígono con cinco lados o pentágono,

· Polígono con seis lados o hexágono,

· Polígono con siete lados o heptágono,

· Polígono con ocho lados o octógono,

· Polígono con nueve lados o eneágono,

· Polígono con diez lados o decágono,

· Polígono con once lados o endécagone,

· Polígono con doce lados o dodecágono,

· Polígono con veinte lados o icoságono.

Respecto a la forma de la figura debemos distinguir:

· Los polígonos cruzados: dos lados se cortan en un punto que no es una extremidad.

· Los polígonos convexos y los polígono estrellados: Cada lado del polígono se prolonga en une recta, esta recta divide el plano en dos regiones,

si el polígono no está dividido en dos regiones se dice que le polígono es convexo. Si el polígono está dividido en dos regiones se dice que el polígono es estrellado.

El polígono de izquierda es convexo y el de derecha es estrellado.

· Los polígonos regulares. En el lenguaje corriente un polígono regular es un polígono convexo que tiene sus angulos de misma medida

Y todos los lados de la misma longitud. En realidad no se necesita suponer convexo. Asi vamos a hablar de polígonos regulares estrellados.

Los polígonos regulares convexos

Triangulo équilatero	Cuadrado

Pentágono regular	Hexágono regular

Los polígonos regulares estrellados

Pentagrama o pentágono regular estrellado	Hexágono regular estrellado
Heptágono regular estrellado {7/2}.	Heptágono regular estrellado {7/3}.

El primer polígono es un pentágono estrellado, llamado también pentagrama y notado {5/2}.

El segundo polígono es un hexágono estrellado notado {6/2}.

El tercer polígono es un heptágono, pero hay dos tipos de heptágonos estrellados:

Dibujemos un heptágono regular convexo.

Cojamos como punto de partida un vértice (1), y tracemos un segmento dos vértices más lejos (vértice (3), tomamos el vértice (3) y trazamos un segmento hacia el vértice (5), repetimos esta operación hasta que lleguemos a nuestro punto inicial (1).

Como se puede constatar hemos dado dos vueltas alrededor del centro del heptágono, esto explica la notación {7/2}.

La otra figura es también un heptágono estrellado notado {7/3}, explica porque?

Estas dos figuras son las dos posibilidades de eneágonos estrellados {9/2} et {9/4}. Vamos a dar otra explicación de la terminología {9/4}: Como pueden ver hay cuatro tipos de puntos marcados en el eneágono, situados en niveles diferentes, son los puntos donde los lados se cortan, cada tipo está representado por un color.

Los Poliedros

Definiciones :

§ Un poliedro (del griego poly : varios ; edro : cara) es un sólido limitado por un conjunto finito de polígonos, llamados caras, tales que cada lado de un polígono de este conjunto sea común a un lado de otro polígono de este conjunto.

§ Une arista del poliedro es un lado común a dos caras.

§ Un vértice del poliedro es un punto común al menos a tres aristas.

§ Un poliedro regular esta formado de un conjunto finito de polígonos regulares convexos idénticos.

§ Un poliedro es convexo si cada una de sus caras puede reposar sobre una superficie plana por ejemplo una mesa.

La formula de Euler : C + V = A + 2

Leonhard Euler (1750) descubrio esta formula entre el numero de caras (C), el numero de vértices (V) y el numero de aristas (A) de un polyèdre convexo.